Ondra začínal s hokejem ve Frýdku-Místku, kde ho dokonce trénoval i jeho otec Pavel Palát, který v klubu u mládeže stále působí. V sezoně 2005/2006 odešel do nedalekých Vítkovic, odkud měl vyřízené i střídavé starty do HC Frýdek-Místek. V roce 2011 byl v 7. kole (jako 208. celkově) draftován týmem Tampa Bay Lightning. Dne 10. října 2011 podepsal s Tampou Bay tříletou nováčkovskou smlouvu.

Palát si připsal po podpisu smlouvy s Tampu ještě jeden úspěch, když byl na farmě Norfolk Admirals, kde odehrál celou sezónu 2011/2012. S týmem zvítězil v základní části a v bojích o Calderův pohár nenašlo jeho mužstvo žádného přemožitele a suverénně tak zvítězilo. Pro Paláta to tak byla první velká trofej v jeho začínající hokejové kariéře. V play off zaznamenal 9 bodů za 4 branky a 5 asistencí.

Od sezony 2013/2014 už nastupoval pravidelně v dresu týmu Tampa Bay Lightning, kde se v pondělí 28. září 2020 nad ránem dočkal slavného Stanley Cupu, když ve finále zdolal jeho tým Dallas 4:2 na zápasy.